Misuriamo l'entropia

Si può dare un valore quantitativo all'entropia, tramite la formula

$$S=k\ln W$$ (1)

dove $S$ è l'entropia; $k$ è una costante e $W$ è il numero di microstati. Dato che il logaritmo naturale ($\ln$) è una funzione sempre crescente, ad un maggior numero di microstati corrisponde una maggiore entropia.

Nella figura cap:Atkins-20.2 e nelle seguenti sono riportate le possibili distribuzioni dell'energia in un sistema di 3, 5, 21 elementi in cui l'energia media per elemento sia sempre uguale a $\mathcal{E}$. In quest'ultimo caso, l'analogia con il gioco della scacchiera appare evidente.

Figura: Possibili stati di un insieme di 3 elementi con energia totale $3\mathcal{E}$.

Figura: Possibili stati di un insieme di 5 elementi con energia totale $5\mathcal{E}$.

Figura: Possibili stati di un insieme di 21 elementi con energia totale $21\mathcal{E}$.

Accanto a ogni configurazione è riportato il numero dei microstati corrispondenti. Si noti anche che la predominanza della distribuzione più probabile cresce con il crescere dell'energia totale.

Il significato fisico è forse più chiaro con un esempio banale. Un gas che occupa un certo volume V può avere diverse configurazioni in cui le molecole sono diversamente distribuite in questo volume. Una configurazione in cui nella metà di destra del contenitore si trovano poche molecole mentre tutte le altre si trovano nella metà di sinistra ha un'entropia molto minore che la configurazione in cui le molecole sono equamente distribuite tra le due metà.

Si può calcolare il numero dei microstati nei due casi. C'è una sola maniera di disporre tutte le molecole in una sola metà del volume del recipiente, mentre ce ne sono molte di disporre metà delle molecole in ciascuna metà del volume (posso scambiare una molecola della metà di destra con una della metà di sinistra: ottengo lo stesso macrostato). Dalla tabella seguente si può vedere come il rapporto tra il numero dei microstati nei due casi sia schiacciante a favore del secondo già con sole 100 molecole:

n. molecole	modi di disporre tutte le molecole nella metà di sinistra	modi di disporre metà molecole in ciascuna metà del volume
4	1	6
10	1	152
12	1	924
20	1	184 756
100	1	$10^{29}$